Hasta ahora nos enfocamos en modelar relaciones unidireccionales. Es decir, asumimos que las variables indepndientes afectan a la variable dependiente y no al reves.

Sin embargo, en muchos casos en economía diferentes variables se afectan entre ellas a través de las leyes económicas.

En el modelo ADL tenemos que \(x_t\) es afectado por \(z_t\). Consideremos el caso sin efectos contemporaneos:

\[\begin{equation} x_t = \delta + \sum_{i=1}^p \phi_i x_{t-i} + \sum_{j=0}^b \beta_j z_{t-j} + u_t \end{equation}\]

donde \(u_t \sim IID(0,\sigma^2_u)\).

Y si a su vez tenemos que \(z_t\) es afectado por \(x_t\),

\[\begin{equation} z_t = \delta + \sum_{i=1}^p \phi_i x_{t-i} + \sum_{j=0}^b \beta_j z_{t-j} + \upsilon_t \end{equation}\]

donde \(\upsilon_t \sim IID(0,\sigma^2_u)\).

Por lo tanto, no podemos estimar de forma independiente estas ecuaciones. Así que necesitamos estimar de forma conjunta las dos ecuaciones.

Si múltiples series son consideradas, una extensión directa de los modelos AR(p) sería:

\[\begin{equation}\label{eq:varp} \begin{matrix} y_{k,t} = & \nu_k + \alpha_{k1,1}y_{1,t-1} + \alpha_{k2,1}y{2,t-1} + \dots + \alpha_{kK,1}y_{K,t-1} \\ & + \dots + \alpha_{k1,p}y_{1,t-p} + \alpha_{k2,p}y_{2,t-p} + \dots + \alpha_{kK,p}y_{K,t-p} + u_{kt} \end{matrix} \end{equation}\]

donde \(k=1,2,\dots , K\)

Siguiendo la notación de Lütkepohl, podemos simplificar este modelo, definiendo \(y_t := (y_{1t},y_{2t},\dots,y_{Kt})'\), \(\nu := (\nu_1,\nu_2, \dots, \nu_K)'\), \(u_t := (u_{1t},u_{2t}, \dots, u_{Kt})'\) donde \(u_t\) son K-vectores i.i.d. con media cero y

\[\begin{equation} A_i := \begin{bmatrix} \alpha_{11,i} & \alpha_{12,i} & \dots & \alpha_{1K,i} \\ \alpha_{21,i} & \alpha_{22,i} & \dots & \alpha_{2K,i} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha_{K1,i} & \alpha_{K2,i} & \dots & \alpha_{KK,i} \end{bmatrix} \end{equation}\]

Así podemos simplificar la ecuación en,

\[\begin{equation}\label{eq:varps} y_{t} = \nu + A_1 y_{t-1} + A_2 y_{t-2} + \dots + A_p y_{t-p} \end{equation}\]

este es el modelo conocido como vector auto-regresivo de orden p [VAR(p)].

Estabilidad VAR(p)

Si el VAR(p) tiene media constante y matriz de varianzas y co-varianzas constantes, decimos que el VAR(p) es estable.

Todo proceso VAR(p) estable es estacionario.

formalmente, definimos la condición de estabilidad del proceso VAR(p) como,

\[\begin{equation} \det (I_{K} - A_1 z - A_2 z^2 - \dots - A_p z^p ) \neq 0 \quad \text{para } |z| \leq 1 \end{equation}\]

Ejemplo

Consideremos el siguiente VAR(1) con tres variables,

\[\begin{equation} y_t = \nu + \begin{bmatrix} 0.5 & 0 & 0 \\ 0.1 & 0.1 & 0.3 \\ 0 & 0.2 & 0.3 \end{bmatrix} y_{t-1} + u_t \end{equation}\]

Para este proceso el reverso del polinomio característico se puede escribir como,

\[\begin{align} \det & \left( \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0.5 & 0 & 0 \\ 0.1 & 0.1 & 0.3 \\ 0 & 0.2 & 0.3 \end{bmatrix} z \right) \\ & = \det\begin{bmatrix} 1- 0.5z & 0 & 0 \\ -0.1 z & 1 - 0.1 z & -0.3z \\ 0 & - 0.2 z & 1 - 0.3 z \end{bmatrix} \end{align}\]

Por propiedades del determinante lo podemos escribir como,

\[\begin{equation} (1-0.5z) (1-0.4z - 0.03z^2) = 0 \end{equation}\]

por lo tanto las soluciones son:

\[\begin{align} z_1 & = 2; & z_2 & = 2.1525; & z_3 = -15.4858 \end{align}\]

Todas son mayores a 1 en valor absoluto, por lo tanto el proceso es estable.

Impulso respuesta

En el trabajo aplicado muchas veces es de interés ver como reacciona una variable a cambios de otra variable en el sistema. Esto es conocido como análisis de impulso respuesta.

Supongamos que el efecto de un choque en la inversión, en un sistema VAR que contiene, inversión (\(y_1\)), ingreso (\(y_2\)), y consumo (\(y_3\))

Para aislar este efecto, suponemos que las tres variables son iguales a su media previo a \(t=0\), i.e \(y_t = \mu\) para \(t <0\). Y la inversión se incrementa en uno en el periodo \(t=0\), i.e. \(u_{1,0}=1\)

Con esto podemos ver que pasa en el sistema para los periodos \(t=1,2,\dots\), asumiendo que no hya nuevos choques

Usando el ejemplo visto en la clase, tenemos

\[\begin{equation} y_t = \nu + \begin{bmatrix} 0.5 & 0 & 0 \\ 0.1 & 0.1 & 0.3 \\ 0 & 0.2 & 0.3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_{1,t-1} \\ y_{2,t-1} \\ y_{3,t-1} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} u_{1,t} \\ u_{2,t} \\ u_{3,t} \end{bmatrix} \end{equation}\]

Asumiendo un choque en el periodo 0 en este sistema

\[\begin{align} y_0 & = \begin{bmatrix} y_{1,0} \\ y_{2,0} \\ y_{3,0} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u_{1,0} \\ u_{2,0} \\ u_{3,0} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \\ y_1 & = \begin{bmatrix} y_{1,1} \\ y_{2,1} \\ y_{3,1} \end{bmatrix} = A_1 y_0 = \begin{bmatrix} 0.5 \\ 0.1 \\ 0 \end{bmatrix} \\ y_2 & = \begin{bmatrix} y_{1,2} \\ y_{2,2} \\ y_{3,2} \end{bmatrix} = A_1 y_1 = A_1^2 y_0 = \begin{bmatrix} 0.25 \\ 0.06 \\ 0.02 \end{bmatrix} \end{align}\]

Si continuamos esta secuencia vemos que \(y_i = (y_{1,i}.y_{2,i},y_{3,i})'\) es la primera columna de \(A_i=1^i\)

Un argumento análogo se daría en caso de mirar una innovación para ingreso o consumo, i.e. \(y_2,y_3\).

Así, los elementos de \(A_i^i\) son los efectos de choques unitarios sobre las variables del sistema después de \(i\) periodos. Estos son llamados los impulsos respuestas o multiplicadores dinámicos